这个结果中的圆 ， 源于与上面的复指数相乘时的半圆旋转 。
巴赛尔问题
让欧拉名声大噪的一个发现是下面这个令人惊讶的结果：
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左边的无穷级数是所有整数平方倒数的“和” 。首先 ， 欧拉回顾了正弦函数的麦克劳林级数展开式 。正弦函数可以写成幂级数 。
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然后除以x得到：
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欧拉认为上面的左边可以看成是一个无限多项式 ， 我们都知道多项式可以被分解成线性因子的乘积形式
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其中c是一个数字 ， 上面分母中的r是多项式的根（也称为零点） 。任何多项式都可以写成这样的事实叫做代数基本定理 ， 这是一个非常重要的定理 。
欧拉认为这个定理也适用于一些“无限”多项式 ， 如上面的幂级数 。由于上述幂级数的常数项为1 ， 显然c = 1 。我们现在有
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欧拉问自己这个函数的零点是什么 。它们是正弦函数的零点 ， 因此是π的整数倍 。所以：
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第二个等式来自于将相邻项相乘 。现在需要另一个绝妙的想法 。欧拉意识到隐藏在上面的二次项分母中的平方数 ， 并想把它们从乘积中“解放出来” 。这听起来很可怕 ， 但是我们只需要得到幂级数的前两项 。
显然 ， 常数项是1 。第二项呢？对于相应的无穷幂级数中的每个系数 ， 我们只需要选择一个非常数项然后从乘积中的其他项中选择所有的1 。然后 ， 我们得到
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欧拉把它和泰勒级数表达式做了比较 。也就是说：
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欧拉得出 ， 右边的两个级数必须相等 ， 也就是：
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或：
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再一次 ， 我们可以解释π是如何从正弦函数的零点来的 ， 然而 ， 如果真的想从几何上理解这个问题 ， 这并不是很令人满意 。
高斯积分
在统计学、数论和许多其他数学领域中 ， 一个非常重要的积分结果是：
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这真的很神奇 。下面这个钟形曲线下的面积是π的平方根 。
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有很多不同的 *** 来证明这一点 。我最喜欢也是更优雅的 *** 是把笛卡尔坐标系换成极坐标 。具体来说 ， 令
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现在我们计算I^2 ， 并将其转换为极坐标：
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在上面的计算中 ， 我们对最后一个积分做了替换：r^2= u => r dr = du/2 。现在 ， 因为我们知道I一定是一个正数 ， 得到
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那么这个圆在哪呢？当我们计算I^2时 ， 我们实际上计算了一个（三维）体积 ， 也就是在一个具有旋转对称的二维表面下的体积 。
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得到的二重积分把无限多的圆面积“加起来” 。把所有这些面积相加 ， 得到的表达式不仅包含π ， 而且实际上等于π 。
结论
看来 ， 当π出现在一个公式中 ， 我们可以通过某种隐藏在公式中的旋转关系来解释它 。即使我们不能一眼看到它 ， 但它肯定就在那里 。
关于π的讨论还可以有很多 ， 例如为什么用几何 *** 解释这类问题这么难 ， 而用代数和微积分就（相对）容易了呢？
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